GCL学术成果：SIGGRAPH Asia 2026-基于不同格林函数域的二维变形坐标新理论

近日，SIGGRAPH Asia 2026 接收成果公布，来自中国科学技术大学数学科学学院 GCL 实验室的陈仁杰研究团队提出了域变格林坐标（Domain-Varying Green Coordinates，DVGC），为基于笼的变形带来了一个新的理论观点。方法的核心观察是：格林第三恒等式中的格林函数 $G$ 并不局限于拉普拉斯方程的基本解，而可以是任意一个包含笼区域 $\Omega$ 的域（连通开集，记为 $\Theta$）上的狄利克雷边界条件的格林函数 $G_\Theta$，其中 $\Theta$ 独立于 $\Omega$，且 $\Omega$ 是 $\Theta$ 的子集。

一、问题背景

基于笼的变形（Cage-based Deformation）是计算机图形学中形状编辑与角色动画的核心技术，用户通过操控包裹物体的控制笼（Cage）来驱动内部形状的变形。该技术的核心在于构造“变形坐标”（Deformation Coordinates），将笼内任意点的位置表达为源笼的顶点，或顶点和法向量的线性组合，再结合目标笼快速生成变形结果。

在这个领域中，调和坐标（Harmonic Coordinates，HC）与格林坐标（Green Coordinates，GC）是存在将近 20 年的经典方法。HC 仅依赖笼的顶点，变形结果与目标笼高度一致，但易产生剪切伪影或不自然的效果；GC 同时引入顶点和法向信息，具有好的保形性，2D 中一般是严格保角（conformal）的，但有时变形效果距离目标笼较远。长期以来，这两种方法被视为独立的理论分支。

二、解决方案

本研究首次发现，可以用格林函数作用域 $\Theta$ 的观点将格林坐标（GC）和调和坐标（HC）统一起来，且调和坐标和格林坐标分别对应域 $\Theta$ 为笼的包围区域 $\Omega$，以及域为全平面 $\mathbb{R}^2$ 的狄利克雷边界条件格林函数所构造的恒等式。本文也因此证明了广义的格林第三恒等式，即对应等式中的格林函数作用域可以是任意包含笼区域 $\Omega$ 的连通开集 $\Theta$，不同限于拉普拉斯方程的基本解。本方法因此叫做域变格林坐标（Domain-Varying Green Coordinates，DVGC）。团队为上述的理论提供了详细的证明，分别从法国数学家提出的分布理论（Distribution theory，也叫广义函数论），以及经典的 epsilon-delta 语言两种方式给出证明。当格林函数作用域 $\Theta$ 从笼包围区域 $\Omega$ 逐渐增大到全平面 $\mathbb{R}^2$ 的过程中，DVGC 可以得到从 HC 连续过渡到 GC 的变形效果。但是并非所有域上的格林函数都具有解析解。当域为圆盘或者矩形时，格林函数分别具有解析和半解析表达式，因此可以直接用边界积分进行坐标的计算。此外，当域为圆盘时，本研究还推导出了 DVGC 的显式表达式，因此无需数值积分就可以快速计算变形坐标，完成变形任务。

三、实验结果

团队在大量二维图像上进行了实验，固定源笼和目标笼，仅改变格林函数域的圆盘半径或矩形尺寸，变形结果表明：当域与笼的包围区域一致时，DVGC 与 HC 的结果完全一致；随着域增大，变形从 HC 逐渐向 GC 靠拢，即笼边界的尖锐折痕被逐步平滑，形状保持性增强，但整体仍比 GC 更贴近目标笼。

论文发表

该工作已被计算机图形学顶级国际会议SIGGRAPH Asia 2026接收。

论文信息

论文标题： Domain-Varying 2D Green’s Functions for Cage-based Deformation

作者： Dong Xiao, Renjie Chen, Bailin Deng

单位： 中国科学技术大学，英国卡迪夫大学