GCL学术成果：SIGGRAPH Asia 2026-基于各向异性格林坐标的网格变形

近日，SIGGRAPH Asia 2026 接收成果公布，来自中国科学技术大学数学科学学院 GCL 实验室的陈仁杰研究团队提出了基于各向异性的格林坐标（Anisotropic Green Coordinate，AGC）。相比于传统基于笼的变形中，变形结果由源笼和目标笼直接决定，本方法能够通过不同参数带来多样的变形效果。根据偏微分方程中的 Malgrange-Ehrenpreis 定理，任意非零常系数的线性偏微分算子都存在一个基本解。团队由此出发，将经典拉普拉斯算子 $\Delta=\nabla\cdot\nabla$ 推广为各向异性拉普拉斯算子 $\nabla\cdot(A\nabla u)=0$，其中 $A$ 是一个对称正定（SPD）矩阵。在此基础上，构造了全新的边界积分恒等式，并以此推导出能够驱动网格变形的各向异性格林坐标。

一、问题背景

在几何建模中，基于笼的变形是一种经典且强大的形状控制方法。用户通过设计或拖拽一个相应度的控制笼，即可驱动嵌入其中的物体进行形变，是形状编辑中的经典方法。在基于笼的形变方法中，格林坐标（Green Coordinates，GC）因其出色的保形性成为该领域的重要方法。然而，传统 GC 的变形效果完全由源笼（source cage）和目标笼（target cage）决定，变形风格没有调节的余地，无法满足艺术家对方向性拉伸、各向异性材料模拟等多样化的需求。

二、解决方案

本研究的主要思路是由 PDE 的理论出发，构建除了控制笼以外的、可调控变形结果的参数控制空间。传统 GC 根据调和函数的格林第三恒等式构建，此外，根据 Malgrange-Ehrenpreis 定理，任意非零具有常系数的线性偏微分算子都存在一个基本解。由于拉普拉斯方程 $\Delta$ 是一类常系数二阶椭圆方程，因此团队将经典的拉普拉斯算子 $\Delta=\nabla\cdot\nabla$ 推广为各向异性的拉普拉斯算子 $\nabla\cdot(A\nabla u)=0$，并推出对应的边界积分恒等式，由此构建各向异性格林坐标（Anisotropic Green Coordinate，AGC）。与传统 GC 不同，AGC 的坐标函数不仅依赖于笼的顶点和法向，还显式地依赖于矩阵 $A$。方法给出了这些坐标在二维和三维情形下的完整显式表达式，无需数值积分，确保了计算的高效性和精确性。此外，团队还证明了 AGC 能够得到拟共形映射。当笼某个面的法向与 $A$ 的较大特征值对应的特征向量一致时，该方向上的变形响应会显著增强。

除了基于笼的变形，AGC 还支持基于变分优化的变形。团队进一步推导了 AGC 坐标的梯度和 Hessian 矩阵的显式表达式，并基于局部-全局优化框架实现了中轴尽可能刚性（ARAP）的变分变形。只需指定少量空间约束，算法便能在满足约束的同时最小化变形梯度与旋转矩阵的偏差，并结合 Hessian 正则项保证全局平滑性。不同矩阵 $A$ 在相同约束下可生成不同的变形风格，拓展了艺术创作空间。

三、实验结果

团队在二维和三维模型上进行了系统实验。结果显示不同矩阵 $A$ 可以得到不同的变形效果。且由于 $A$ 是对称正定矩阵，可以用特征值、旋转群中的旋转角设计矩阵。此外，实验中还重点分析了矩阵 $A$ 的特征值，特征向量与该方向变形敏感性之间的联系。

论文发表

该工作已被计算机图形学顶级国际会议SIGGRAPH Asia 2026接收。

论文信息

论文题目： Anisotropic Green Coordinates

作者： Dong Xiao, Renjie Chen, Bailin Deng

作者单位： 中国科学技术大学，英国卡迪夫大学