GCL学术成果：SIGGRAPH Asia 2026-TORO Curves: G^2 Interpolating Curve with Maximum Curvature Control
近日，SIGGRAPH Asia 2026 接收成果公布，来自中国科学技术大学数学科学学院 GCL 实验室的陈仁杰研究团队提出了一类新的 G^2 连续插值曲线——TORO 曲线。该方法以偏置曲线为核心，通过解耦相邻控制点处的局部几何行为与曲率大小，实现了无需全局优化的高效插值曲线构造以及曲线内部曲率控制。
一、曲线设计：从几何造型到曲率控制
曲线是计算机辅助设计和计算机图形学中最基础的几何表示之一。从工业产品外形设计，到运动轨迹规划，再到曲面生成，高质量的曲线都需要具备良好的光顺性和可控性。
在实际设计过程中，设计师不仅希望曲线能够经过指定的设计点，能够用尽可能少的控制信息，快速构造出符合设计意图、形状自然且平滑连续的曲线，对于交互式几何设计而言，设计者还希望这种调整能够即时反馈：拖动控制点、修改局部参数后，曲线应当快速响应，而不需要等待复杂的重新计算；与此同时，一条高质量的设计曲线还需要具有良好的光顺性。曲线不仅需要在位置和切向上平滑连接，还应当具有自然、连续的弯曲变化，避免局部突变或不必要的起伏；当曲线进一步用于曲面构造时，这种光顺性还会直接影响最终曲面的视觉质量。由此，一个理想的曲线模型需要在形状表达、精确插值、几何光顺和实时交互之间取得平衡：既能够表达复杂形状，又能够让设计者以直观的方式进行局部修改，同时保持快速、稳定的响应。
二、现有方法：光顺、插值与曲率控制难以兼得
目前，Bézier、B-spline 和 NURBS 等经典曲线模型已经广泛应用于几何设计。它们具有良好的连续性和局部支撑，为自由形状建模提供了成熟的工具。但当设计者希望进一步控制曲线的曲率变化时，仅依靠控制点进行调形往往并不直观。为了获得更复杂的局部形状，通常需要增加额外的控制点；与此同时，由于曲率由整条曲线的控制点共同决定，其表达式和变化规律较为复杂，因此需要很仔细地移动控制点以避免不必要的局部波动。对于交互式设计而言，这也意味着设计者可能需要反复调整多个控制点，才能同时获得理想的形状和光顺效果。
针对这些问题，近年来研究也提出了专门面向曲率控制的插值曲线方法，例如 κ-curves 和美学曲线。这类方法能够保证单段曲线之间的曲率单调变化，从而获得更加自然的曲线形状，但通常需要迭代或全局优化过程来满足插值和曲率约束；美学曲线类方法还涉及数值积分，缺少简单的闭式表达，从而增加曲线生成的计算成本。当设计者频繁拖动控制点、改变曲率参数时，反复执行这些计算会进一步影响交互响应速度。此外，已有方法在拐点处的连续性、拖动控制点时的连续变形以及曲率大小的直接调节等方面仍存在一定限制。
图1：G2连续曲线旋转面（左）与G1连续曲线旋转面（右）的光影对比
三、TO/RO 段：灵活、光顺的拼接单元
TORO 曲线针对不同的局部弯曲情况，设计了两类曲线段：TO（Trigonometric Offset） 用于处理弯曲方向发生变化的区域，RO（Rational Bézier Offset） 用于处理弯曲方向保持一致的区域。两类曲线都建立在具有单调曲率变化的基本曲线之上，其中 RO 进一步采用由局部几何关系确定的单调曲率权重，从而无需全局优化即可避免曲线内部产生额外的局部曲率极值。与此同时，在控制点处引入圆弧作为过渡，为曲线提供额外的几何自由度，使端点的切向、法向与曲率约束能够得到更灵活的协调，从而扩大可构造范围，并保证在满足局部几何条件时构造解的存在性。
偏置技术的应用，将曲线内部的曲率变化形式与控制点处的具体曲率大小解耦：在保持切向、法向以及曲率变化规律的同时，通过偏置调整曲率大小。这样，曲线的整体形状可以由局部几何关系决定，而控制点处的曲率可以作为独立参数直接调节。整个过程只依赖局部几何，不需要对整条曲线进行全局迭代优化，从而兼顾了直接曲率控制、局部支撑和计算效率。
图2：TO段、RO段以及偏移技术示意
四、自适应标架和曲率：实现鲁棒编辑
为了保证曲线在不同控制点布局和曲率设置下都能够稳定构造，TORO 对曲线段的可行性建立了明确的局部几何判据，并根据控制点的局部几何关系自适应选择合适的曲线配置。当控制点发生移动、几何关系逐渐接近不可行状态时，方法会相应调整局部标架和曲率范围，使曲线始终保持在可构造的区域内。
这种自适应机制进一步保证了交互编辑过程中的稳定性：控制点移动或曲率修改只影响有限的邻近曲线段，同时能够避免因局部几何退化而产生突兀的形状变化。因此，TORO 不仅能够构造满足 G^2 连续和曲率控制要求的曲线，还能够在连续交互过程中保持局部响应、连续变形和鲁棒性。
五、求解框架
综合前述设计，TORO 将曲线构造组织为一个完整的局部处理流程。对于每个控制点，首先根据相邻控制点确定局部切向与法向标架，并结合目标曲率构造对应的端点密切圆；随后根据相邻控制点的局部几何关系，分别调用 TO 或 RO 构造器。在构造过程中，基本曲线段之间的 G^2 拼接仅依赖局部几何信息，对应一系列局部的二维求解过程。
最终，复杂曲线可以通过一系列局部的、解析的计算逐段构造。
六、实验结果：丰富的形状表达与高质量的曲线控制
实验结果表明，TORO 曲线能够在较少控制点下表达丰富的曲线形状，并通过直接调整控制点处的曲率实现连续、直观的局部形状变化。对于同一组控制点，仅改变曲率配置就可以产生明显不同的轮廓；同时，方法能够精确表示直线、圆弧和椭圆等基本几何形状，并支持尖点等特殊形态。在复杂自由形状中，曲率变化主要集中在预先指定的控制点附近，而不会在曲线内部产生额外的局部曲率极值，从而使形状变化更加可预测。
在与已有曲率控制插值曲线的比较中，TORO 同时展现出更直接的曲率调节能力和更稳定的光顺效果。其 TO 曲线能够跨越拐点保持 G^2 连续，而曲率单调构造避免了内部额外极值；在较大曲率比情况下，偏置技术还能减弱高曲率点对邻域形状的过度影响，避免曲线过度扁平。与此同时，整个构造采用局部求解，不依赖全局优化，并能够在不同求解状态之间保持连续变形，因此适合实时交互式设计。论文的比较结果显示，TORO 同时具备 G^2 连续、直接曲率控制、连续变形、局部支撑和无需全局优化等特性。
图3：部分结果与对比展示
七、总结与展望
TORO 曲线以几何形状设计为目标，将精确插值、G^2 连续、直接曲率控制、曲率极值约束、局部求解以及实时交互统一到同一套曲线构造框架中。通过基本曲线段、圆弧与偏置技术的结合，方法既能够表达从平滑到尖锐的丰富形状，又能够保持局部、稳定和高效的编辑方式，为曲率驱动的几何设计提供了一种新的思路。
目前，TORO 主要面向二维曲线。未来可以进一步研究其向三维空间曲线的推广，以及控制点趋于共线时更高阶的光顺问题；同时，构造具有单调曲率性质的 S 型三次 Bézier 曲线，也将为这一框架带来更统一的表示形式。
论文发表
该工作已被计算机图形学顶级国际期刊 ACM Transactions on Graphics接收。
论文信息
论文题目： TORO Curves: G^2 Interpolating Curve with Maximum Curvature Control
作者： Bowen Jiang, Renjie Chen
作者单位： 中国科学技术大学