GCL学术成果：SIGGRAPH Asia 2025-高阶cage内的柯西坐标

10月 10, 2025 1 分钟阅读时长

【论文标题】Closed-form Cauchy Coordinates and Their Derivatives for 2D High-order Cages

【作者】柳士博，刘利刚，傅孝明

【单位】中国科学技术大学

背景与问题

在计算机图形学领域，重心坐标广泛应用于形状变形等问题。传统的重心坐标主要定义在多边形域上，边界由直线段表示，然而，使用曲线表示域边界可以提供更高的灵活性和保真度，这在众多应用场景中具有关键意义。

近年来，研究者们尝试将多种重心坐标到曲线边界。其中，柯西坐标因为其简洁的表达式和高效的共形形变特性，被广泛应用于图片几何变形领域。然而，现有方法如多项式柯西坐标（PGC）通过中间步骤实现曲线包围区域之间的变形，但由于使用中间逆映射的数值积分，导致坐标缺乏显式表达式，无法支持曲边cage内的P2P约束变形。

图1 使用曲边区域内的柯西坐标得到的变形结果，可支持直接编辑笼子以及P2P约束的变形。
图1 使用曲边区域内的柯西坐标得到的变形结果，可支持直接编辑笼子以及P2P约束的变形。

解决方案

本文提出一种将多项式柯西坐标推广至曲边区域的方法。我们使用分段Bézier曲线表示域的边界，将柯西复重心坐标推广到曲线边界后，基于留数定理推导出了坐标和导数的解析计算公式。与现有的基于间接方法的多项式柯西坐标相比，本文的方法在计算精度和效率上均有显著提升。

图2 比较解析计算公式和数值积分公式的性能差异。解析计算公式具有更高的计算精度和更低的时间开销。
图2 比较解析计算公式和数值积分公式的性能差异。解析计算公式具有更高的计算精度和更低的时间开销。

同时，通过推导坐标的任意阶导数表达式，我们可以实现曲边边界内的P2P约束变形。由于本文方法不需要中间状态，用户操作更加方便，获得更加光滑、直观的变形体验。

图3 针对不同输入区域的变形结果。曲边区域的变形结果更加光滑、直观。
图3 针对不同输入区域的变形结果。曲边区域的变形结果更加光滑、直观。

实验结果

我们对所提出的方法进行了广泛的实验验证。对于输入的曲边区域，我们的方法允许将其变形到任意阶数的目标曲边区域，并在不同复杂度的几何条件下保持稳定性与高精度。

图4 曲边区域被变化为不同阶数的曲边区域。
图4 曲边区域被变化为不同阶数的曲边区域。

与传统的柯西坐标相比，本文坐标在处理弯曲形状时所需控制点更少，编辑更加高效。

图5 和传统的柯西坐标的比较。
图5 和传统的柯西坐标的比较。

与多项式柯西坐标相比，本文的坐标在P2P约束变形里持更自由、更灵活的形变控制。

图6 和多项式柯西坐标在P2P应用上的比较。
图6 和多项式柯西坐标在P2P应用上的比较。

技术贡献

在这项工作中，我们的贡献主要包括：

  1. 将传统的柯西坐标推广至输入的曲边区域上，并提供了解析表达式。

  2. 给出了坐标的任意阶导数表达式，这可以用于P2P约束变形和平滑能量驱动的变形等应用。

论文发表

该工作已被计算机图形学顶会SIGGRAPH Asia 2025接收。

论文原文

Shibo Liu, Ligang Liu, Xiao-Ming Fu. Closed-form Cauchy Coordinates and Their Derivatives for 2D High-order Cages. ACM SIGGRAPH Asia 2025 Conference Proceedings.

学术成果