九重Eureka·成果01｜从一个泛函方程，到两个悬置多年的猜想

原创｜中国科大九重团队｜九重JIUCHONG｜2026年7月16日 09:23｜安徽

上篇我们介绍了 Eureka ——中国科大九重团队自研的数学研究AI平台，能够完成规划、推导、验证与审查等科研环节。本文向大家介绍 Eureka 自主完成的一项成果：从一个只有符号的泛函方程出发，证明了两个悬置多年的公开猜想，并给出了比猜想本身更精确的结论。

问题由中国科学技术大学管理学院冯群强副教授提供。相关论文已于近日在 arXiv 公开，标识符为 2607.12564。

问题背景

演化网络（evolving network）是刻画真实网络生长的一类随机图模型。冯群强与合作者研究的 homogeneous evolving network 度数恰为 $k$ 的节点所占的比例几乎必然收敛到一个极限分布 ${p_k}$，该极限分布的概率生成函数 $g$ 被如下 $j=2$ 时的泛函方程完全确定：

$$ (1+2p)g(x)=2p x^j+g\left(x-px+px^2\right),\qquad 0\le x\le 1. $$

方程能唯一确定 ${p_k}$，却写不出显式表达式。根据数值实验，冯群强与合作者提出两个猜想：

• 幂律尾部（Feng–Li–Hu，2023，$j=2$）：当 $k$ 很大时，$p_k$ 大致按幂律 $k^{-1-\rho}$ 衰减,其中 $\rho=\log(1+2p)/\log(1+p)$；
• 周期振荡（Feng–Hu，2017，$j=1$）：在这条幂律之上，还叠加着一个随尺度周期起伏的振荡因子。

此前均未获证明。我们把这两个问题交给 Eureka 立项，并让它自主求解。

求解过程

01 文献调研

系统自动检索，围绕方程梳理出六篇最相关的工作，判断其中没有任何一篇给出过尾部渐近——确为公开问题。

02 路线规划

系统没有直接估计系数，而是将方程的解识别为一个超临界分支过程在随机时刻的种群规模，把系数渐近问题转化为概率论问题。沿此路线，系统不仅证明了两个猜想，还给出精确渐近：

$$ p_k=k^{-1-\rho}\Psi_j\left(\log_\lambda k\right)+o\left(k^{-1-\rho}\right),\qquad \lambda=1+p. $$

其中 $\Psi_j$ 连续、恒正、以对数尺度为周期。结果一次性覆盖两个猜想，且对一般的 $j$ 都成立，2017与2023的两个模型是其中 $j=1$、$j=2$ 的特例。

03 交叉验证

系统用两条独立管线做数值验证：一条按精确递推算 $p_k$，另一条用分支过程迭代估计相关量，检查log-log斜率是否稳定等于 $-(1+\rho)$、不同 $j$是否给出同一指数。

04 独立审查

复审指出，系统最初借用的一条2004年经典结果，其原始证明存在漏洞。系统据此重新构造了完全自包含的推导路径，移除了对该结果的依赖。（该疏漏此后得到了原作者本人的确认。）

05 端到端运行

从立项到产出论文草稿，整个过程在无人类参与的情况下自主完成，耗时约两小时。

总结说明

Eureka 从一个只有符号的方程出发，独立完成了文献调研、建模转化、严格推导、编程验证与自我审查的全过程，证明了两个悬置多年的公开猜想，并将结果推进到比猜想更精确的程度。

成果经系统内部独立审查、GPT 5.5 Pro交叉检验及冯群强副教授复审，相关论文已于2026年7月14日在 arXiv 公开（2607.12564）。需要说明的是，AI的自动核验不能取代人类同行的严格评审。

这个案例表明，Eureka 已具备端到端自主开展数学研究的能力；在人类专家引导下，有望发挥更大作用、产出更多成果。

论文：Power-law and log-periodic degree tails for a family of probability generating function equations arising in evolving networks，arXiv:2607.12564。

链接：http://arxiv.org/abs/2607.12564。

欢迎持续关注 中国科大九重团队 在自动数学研究方向的后续进展。

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